Более 150 лет математики опирались на теорему Бонне. Она утверждала: если в каждой точке поверхности известны метрика (геометрия «внутри») и средняя кривизна (как поверхность изгибается в пространстве), то её форма определена единственным образом. Это казалось незыблемым, особенно для замкнутых поверхностей вроде сфер или торов.
Группа исследователей из Технического университета Мюнхена (TUM), Берлинского технического университета (TU Berlin) и Университета штата Северная Каролина (NC State) доказала, что это не всегда так. Они построили два тора (поверхности в форме бублика), у которых совпадают и метрика, и средняя кривизна, но при этом они глобально различны. Это первый известный пример компактных поверхностей Бонне. Ранее исключения находили только на некомпактных объектах — бесконечных плоскостях или поверхностях с краями, которые математики считали нерепрезентативными.
После многих лет исследований нам впервые удалось найти конкретный пример, демонстрирующий, что даже для замкнутых поверхностей в форме пончика локальные данные измерений не обязательно определяют единую глобальную форму.
— объясняет Тим Хоффманн из TUM.
Более того, построенные торы оказались вещественно-аналитическими. Это решает вторую давнюю проблему: до сих пор не было известно, гарантирует ли аналитичность метрики единственность компактного погружения. Оказалось, нет.
Работа опубликована в журнале Publications mathématiques de l’IHÉS — одном из самых авторитетных изданий в области чистой математики. Построенные Хоффманном и коллегами торы навсегда меняют представление о том, как локальные параметры связаны с глобальной формой. Теорема Бонне перестала быть теоремой — она стала частным случаем.
